La divisione dei cammelli

La migliore e più rapida soluzione è quella di Simone Viaro al quale facciamo i complimenti! Eccola:

L'avvocato ha potuto dare a tutti qualcosa di più perché la somma di 1\2 + 1\3 +1\9 ( secondo la suddivisione del testamento) è inferiore all'unità (9\18 + 6\18 + 2\18 = 17\18): per cui sarebbe rimasto qualcosa da suddividere ulteriormente fra gli eredi. L'avvocato si è ripreso il suo cammello semplicemente perché non faceva parte dell'eredità.

E' interessante, dal punto di vista matematico, anche la soluzione (arrivata poco dopo nel forum) di Paolo Corposanto, Alvise Cardani, Riccardo Piovesan e Andrea Bortolotto:

L'avvocato è riuscito a dare a tutti qualcosa in più, poiché al primo figlio sarebbero toccati 8,5 cammelli, al secondo 5,6666666666 periodico ed al terzo 1,8888888 periodico. Invece hanno ricevuto rispettivamente 9 - 6 - 2 cammelli, perchè con 18 cammelli da spartire si eliminano i decimali. In questo modo, però, facendo la somma delle tre divisioni, difatto rimaneva un cammello: quello dell' avvocato. Infatti, sommando fra loro gli "avanzi della divisione con 17 cammelli, risulta 1 circa ^* (risultato approssimato a causa dei numeri periodici).

Per chi ha voglia di approfondire, ecco alcune osservazioni. Il problema nasce da un doppio errore contenuto nel testamento.
1° errore: come vedete nella figura, le parti non coprono l'intero, manca una fettina da 1/18.

2° errore: il sultano non aveva previsto che il numero di cammelli poteva non essere divisibile per 2, 3 e 9.

A causa del primo errore, sarebbero comunque avanzati cammelli o parti di cammello. Nel nostro caso, con 17 cammelli, avanza un diciottesimo di 17 e cioè 17/18 = 0,94444... In pratica rimane fuori quasi un cammello intero: da assegnare a chi?

A causa del secondo errore, la divisione diventava possibile solo se il numero di cammelli fosse stato 0, 18, 36, 54 ecc., cioè un multiplo di 18.

L'astuto avvocato (sicuramente un fine matematico) colse immediatamente l'occasione per mettere d'accordo tutti. Con 18 cammelli si verifica la divisibilità per 2, 3 e 9. Aggiungendo "per finta" un cammello è riuscito ad aggirare sia il primo che il secondo errore.

In realtà, in questo modo, non è stata rispettata esattamente la volontà del sultano, perché 9 cammelli non sono la metà, 6 cammelli non sono un terzo e 2 cammelli non sono un nono di 17.

Vediamo in dettaglio:

Ritengo comunque che il defunto sultano, osservando le vicende terrestri dall'aldilà e accortosi dell'errore, avrebbe approvato la nuova divisione. Infatti anche la spartizione della diciottesima parte mancante è avvenuta proporzionalmente alle regole stabilite: il più fortunato è stato il primo fratello, quello che, per età, doveva meritarsi di più di tutti (mezzo cammello in più), poi veniva il secondo fratello con un terzo di cammello in più ed infine l'ultimo fratello (solo un nono di cammello in più).

Ma, che succede? 1/2 + 1/3 + 1/9 non fa un cammello intero ma un po' meno!!!! In totale hanno ricevuto in più 17/18 di cammello e cioè esattamente 0,94444... proprio quello che mancava!

La perfetta divisione di cammelli è "miracolosamente" avvenuta, e sarebbe avvenuta comunque anche senza il cammello aggiunto "per gioco" dall'avvocato.

Proviamo a generalizzare.

Il gioco si basa sulla coincidenza "fortuita" dei numeri: i 17 cammelli corrispondono al minimo comune denominatore delle frazioni, cioè 18, meno uno.

Possiamo inventare altre situzioni simili, rispettando questa regoletta. Ecco alcuni esempi:

1) Dividere 23 cammelli assegnando 1/2 al primo fratello, 1/3 al secondo e 1/8 al terzo. (m.c.m.=24)

2) Dividere 24 cammelli assegnando 8/25 al primo, 2/5 al secondo e 6/25 al terzo. (m.c.m.=25)

3) Il caso più semplice possibile: dividere 2 cammelli a due fratelli assegnando 1/3 a ciascuno. (m.c.m.=3)

Provare per credere: nell'ultimo caso, ad esempio, vediamo l'avvocato aggiungere il suo cammello per fare 3 cammelli. Poi lo vediamo assegnare un cammello a ciascuno dei fratelli (1 cammello = 1/3 di 3 cammelli). I fratelli se ne vanno tranquilli a casa con un cammello a testa e l'avvocato si riprende il suo.

^* ad essere pignoli, nella seconda risposta c'è un piccolo errore: la somma non dà 1 non per le approssimazioni dei numeri periodici, ma per il discorso appena fatto.